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SOMMAIRE Dossier : Les mathématiciens précoces Gauss et le "théorème d'or" Le génie précoce Carl Friedrich Gauss fit la démonstration complète de l'hypothèse d'Euler, ou "théorème d'or", à 19 ans, à partir d'observations enfantines sur les nombres. Les nombres figurés et l'extraction de racine Le calcul d'une racine carrée peut être effectué de bien des façons. En voici une qui, à défaut d'être performante, lie nombres figurés et algorithme. Cette méthode est particulièrement adaptée au calcul par ordinateur. Le simplexe : une approche géométrique de la programmation linéaire La géométrie des polyèdres permet de résoudre les problèmes d'optimisation des fonctions linéaires pour des variables soumise à des contraintes linéaires. Il s'agit de la méthode du simplexe. Et aussi Belles preuves Erreurs et paradoxes En bref Note de lecture Avis de recherche Pistes de solutions

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SOMMAIRE Écrire sur une sphère Une partie du métier de cartographe consiste à écrire sur un plan ce qui est inscrit sur une sphère. Comment exécuter l'opération inverse? Il existe plusieurs façons d'écrire sur une sphère ce que, d'ordinaire, nous écrivons sur un plan. L'art, la nature, et les variations en 1/f L'art, la nature, et les variations en i/f Une étude récente semble prouver que les séquences des films hollywoodiens sont réparties suivant une loi dite « en 1/f». Cette distribution spectrale a déjà été observée en physique, en biologie, dans de nombreuses œuvres d'art et semble liée au fonctionnement du cerveau. Son universalité reste toutefois à expliquer. Et aussi : En bref Mathématiques récréatives Nouvelle Avis de recherche Belles preuves Erreurs et paradoxes Solutions

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SOMMAIRE Résolution des équations algébriques La recherche des solutions des équations a amené la naissance de la notation algébrique, de la notion d'algorithme ainsi que celle de groupe. La forme de la Terre Enjeu politique ou intérêt scientifique, la connaissance de la forme exacte de la Terre a toujours été cruciale. Elle a entrainé les savants de toutes les époques dans des calculs parfois complexes, mais souvent ingénieux, leur inventivité se chargeant de compenser les limites de leur temps. Dossier: Les tas de sable Des surprises dans les avalanches Peut-on prévoir la taille des avalanches ? Pour essayer de répondre à cette question, des physiciens ont étudiée plusieurs types d'avalanche différents. L'algèbre des avalanches Une simple grille modélise les avalanches comme la propagation des feux de foret. On en tire une foule de propriétés algébriques qui permettront de prévoir le comportement de ces phénomènes naturels. Profils des dunes La forme des dunes n'est pas le fruit du hasard. Elle peut s'étudier à l'aide d'un modèle simple des tas de sable, en considérant, pour une quantité de sable donnée, les possibilités de disposition des grains. Pourra- t- on prévoir tous les profils possibles, quelque soit la taille du tas ? Les maths dont partout Dans notre monde, les mathématiques affleurent partout. La plupart de nos objets quotidiens en sont imprégnés mais il faut un œil exercé pour les apercevoir. Et aussi Brèves, Au fil de la recherche, Mathématiques récréatives, Belles preuves, Erreurs et paradoxes, Exercices, Avis de recherche, Agenda et solutions

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SOMMAIRE Nombre de partitions d'un nombre entier De combien de manières peut-on partager un entier? Le problème peut sembler simple. Pourtant, il comporte encore bien des questions ouvertes. Désignation des élus au sein d'un parti Dans nos régimes démocratiques, le suffrage universel reconnaît le droit de vote à chaque électeur, sans aucune discrimination : ainsi, le "peuple souverain" est amené à désigner ceux qui le représenteront pour un mandat déterminé. A cet effet, plusieurs systèmes électoraux existent. Certains pays adoptent un système majoritaire: l'avantage est accordé à un parti en particulier, son adversaire formant ce qui est appelé " l'opposition". D'autres nations optent pour un système proportionnel : la présence de plusieurs partis est privilégiée de manière à mieux traduire les sensibilités des électeurs. En plus de cette différence de systèmes, de nombreuses règles peuvent être élaborées pour amener un bon fonctionnement de la gouvernance. La cryptographie appliquée au vote électronique Le vote électronique-éventuellement par Internet-est un moyen de réduire le coût des élections, et de réduire l'abstention. Le problème : peut-on s'y fier? Et aussi Mathématiques récréatives En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Les fonctions de hachage Comment savoir si un document a été transmis intégralement’ Une réponse est de lui associer une signature, que l'on nomme aussi empreinte. Celle-ci peut s'obtenir par hachage. Les mathématiciens, tous platoniciens’ Comme Platon, les mathématiciens sont des créateurs de mondes. Un exemple dû au philosophe grec est le monde issu du mythe de la caverne. Doit-on autant considérer tous les mathématiciens comme platoniciens’ Détermination intrinsèque d'un plan tangent Une surface étant donnée par le relevé de ses lignes de niveaux, comment en déterminer les plans tangents’ Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle d'une taupe modèle En bref Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Les lampes magiques On voit, dans le commerce des lampes un peu magiques qui s'allument lorsqu'on les touche. Or pour le scientifique, il n'y a pas de magie, mais uniquement des lois de la nature et des explications à rechercher. Un indien génial En supplément de Tangente 121, quelques formules étonnantes de Srinivasa Ramanujan, mathématicien énigmatique et génial. Comment évaluer une option sur le prix du pétrole ? Tous les gestionnaires ont besoin de prévoir, de calculer les risques. Comment faire en l'absence de prévisions certaines ? Accélération de convergence A l'époque des super - calculateurs la convergence peut sembler passée de mode. Pourtant, l'opération est toujours de mise que ce soit pour gagner du temps, ou tout simplement rendre le calcul possible. Doeblin et Itô : deux formules similaires er différentes Le pli cacheté de Wolfgang Doeblin a été ouvert en 2000 par l'Académie des Sciences : ce mathématicien français d'origine allemande, mort en 1940, &tait un génie insoupçonné ! Et aussi Mathématiques récréatives Belles preuves Erreurs et paradoxes Note de lecture Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Dessiner une hypershère La conjecture de Poincaré porte sur les hypersphères, qui généralisent à l'espace de dimension quatre les sphères de l'espace de dimension trois. Comment les représenter? Détection des bords d'une image Une image étant donnée, comment détecter les contours des objets qui s'y trouvent? A travers notre cerveau, l'œil sait le faire instantanément, mais comment enseigner cet art à un ordinateur? Pour commencer, comment définir ce qu'est un contour? Quand les tangentes étaient touchantes Avant l'invention du calcul infinitésimal, un savant liégeois, René de Sluse, inventa le premier algorithme connu de détermination de la tangente à une courbe. Le Sunakia Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique... Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE La Géométrie : talon d'Achille des supercalculateurs Pour représenter des images 3D (éventuellement animées), les supercalculateurs utilisent des méthodes géométriques, qui consistent à représenter les volumes par des polygones. Ils peuvent aussi choisir une méthode algébrique, plus économe en mémoire et en temps d'affichage, qui consiste à représenter les volumes par des équations polynomiales. Valérie Pécresse : " Nous ne toucherons pas aux classes prépas! " Il ne se passe pas de décennie sans que se fasse jour un projet de mettre à mal le système français des grandes écoles et des classes préparatoires. Tangente Sup a interrogé la Ministre de l'enseignement supérieur et de la recherche. Sa réponse, rassurante, vous est livrée in extenso. Dossier : L'école mathématique polonaise Mathématiques récréatives : le billard cubique de Steinhaus Les mathématiques actuelles en Pologne Durant la période 1919-1939, l'école mathématique polonaise s'est façonné un style. Depuis cette époque, l'éventail des intérêts scientifiques de plus de 2000 chercheurs en mathématiques, qu'ils travaillent en Pologne ou à l'étranger, s'est considérablement élargi. Les espaces polonais L'école mathématique polonaise de l'entre deux guerres a été particulièrement prolifique. Elle nous a laissé, entre autres, les espaces de Banach et les espaces polonais. Et aussi Belles preuves Avis de recherche Solutions

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SOMMAIRE Comment Google classe les pages Les moteurs de recherche comme Google donnent les sites les plus pertinents par rapport à une recherche. Comment font-ils’ De façon assez surprenante, les puissances de matrices sont au centre de la réponse. Plus sort qu'Einstein Où le lecteur verra comment les différents protagonistes d'un même problème de géométrie apportent de multiples enseignements à l'auteur. Le théorème de Perron-Frobenius Le théorème de Perron-Frobenius sur les matrices stochastiques a de nombreuses applications. Elles concernent en particulier les chaînes de Markov. Une modélisation de la récidive L'évolution de la population des criminels entre liberté et prison peut être modélisée par une chaîne de Markov. Quelle est l'influence du taux de récidive? Riemann : des intégrales à la physique Bernhard Riemann fut un visionnaire. Ses idées ont révolutionné les mathématiques et la physique et trouvent toujours un écho dans la recherche actuelle. Le perceptron Comment imiter le fonctionnement du cerveau humain et ses réseaux de neurones ? Une réponse : le perceptron. Et aussi Mathématiques récréatives Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Note de lecture Solutions

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SOMMAIRE Les cent ans du père des filtres Les mathématiciens français sont parmi les meilleures du monde. L'un des principaux responsables de cette exception culturelle est le père des filtres. Il a fêté ses cent ans le 8 juillet 2004. Dossier : Le zéro et le vide Gloire à vous tous, nobles zéros! Un zéro, ce peut être beaucoup de choses. De l'histoire des nombres au calcul infinitésimal, en passant par les racines des polygones, faisons un petit tour mathématique autour de cette notion tellement ... multiple! Les infinitésimaux en analyse non standard Jusque vers le milieu du XXème siècle, l'infini a été considéré comme potentiel : on peut tendre vers l'infini mais jamais l'atteindre. Depuis Abraham Robinson, il est possible de travailler et calculer sur des infinis actuels avec rigueur. Les physiciens face au vide Le cheminement intellectuel qui a permis aux hommes de décrire la matière comme un ensemble d'atomes, de modéliser ces derniers pour les appréhender par la pensée, a été parsemé d'erreurs, de remises en causes et de bouleversement successifs. L'algèbre à corriger les erreurs En informatique, il est indispensable de pouvoir détecter et corriger les erreurs, qui de glissent dans les suites de 0 et 1. Pour cela, l'algèbre vient à notre secours, sous la forme de matrices génératrices de code, ou de matrices de contrôle. Les chaînettes de surface La chaînette classique correspond à un fil pesant abandonné dans l'espace. Que ce passe - t-il lorsqu'on pose ce fil sur un cylindre vertical, une sphère, un cône, etc. ? Pour le savoir, une étude mécanique est nécessaire. Et aussi Actualités de la recherche, Erreurs et paradoxes, Belles preuves, Mathématiques récréatives, En bref Exercices, Avis de recherche, Agenda et Pistes de solutions

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SOMMAIRE L'art de la modélisation mathématique Pour être passible de calculs, le réel a besoin d'être modélisé. Le danger est alors d'oublier la différence entre la réalité et son modèle. Arbres de Steiner sur échiquier Le premier article de Martin Gardner dans une revue mathématique avec comité de lecture porte sur les arbres de Steiner. Nous en proposons ici une adaptation raccourcie, dans l'esprit de Tangente Sup. La similitude : une notion intrinsèque Deux matrices réelles semblables sur le corps? Des complexes le sont aussi sur le corps? Des réels. Ce résultat a des conséquences théoriques importantes. Et aussi Mathématiques récréativités Nouvelle Avis de recherche Solutions Belles preuves Erreurs et paradoxes Note de lecture

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SOMMAIRE Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes En 1881, Henri Poincaré affirme : "Les mathématiques ne sont qu'une histoire de groupes", ce qui généralise les idées qu'exprime Félix Klein sur la géométrie dans le programme d'Erlangen. La dualité entre l'amour et les maths Le mathématicien Edward Frenkel a réalisé, en collaboration avec Reine Graves, un film étonnant, Rites d'amour et de maths, en hommage à Yûkoku (Rites d'amour et de mort) de Yukio Mishima. Esthétiquement parfait, il intriguera ceux qui imaginent les mathématiques comme le contraire absolu de l'art et de la poésie. Il en inquiétera d'autres ... Un bouquet d'ellipses pour retourner la sphère François Apéry a remporté le concours Art et Maths 2010 de Tangente avec une construction de la surface de Morin, étape intermédiaire du retournement de la sphère, en bouquet d'ellipses. Comment l'a-t-il réalisée? Le Sunakia Après le succès des célèbres jeux de logique en provenance du Japon, voici le Sunakia, d'un inventeur français. En combinant les règles de deux jeux japonais, ce nouveau venu offre une grande variété de raisonnements, et des énigmes de difficulté graduée: un entraînement cérébral ludique... Et aussi Mathématiques récréativités En bref Nouvelle Belles preuves Erreurs et paradoxes Avis de recherche Solutions